7 septembre 2006
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17:32
Exercice 19 TD 1 [Version 2006-2007]
Enoncé : trouver deux nombres dont la somme vaut 3 et dont le produit vaut 2.
On a, si x et y, désignent les deux nombres : x + y = 3 et xy = 2.
De la première équation, résulte : y = 3 - x d'où grâce à la seconde équation :
x(3-x) = 2 soit x^2-3x+2 = 0. C'est une équation du second degré pour laquelle : delta = 1 d'où deux solutions 1 et 2. Le problème admet donc deux couples solutions (x=1,y=2) et (x=2,y=1).
[NV, le 7 septembre 2006]
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13 janvier 2006
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09:53
Décomposer dans R la fraction:F(x) =x^3/(x^4-1).
Esquisse de solution :
Pas de partie entière. On factorise le dénominateur d'où :
F(x) = x^3/((x-1)(x+1)(x-j)(x+j))=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x-j)+D/(x+j).
La fraction est impaire. Or
F(-x) =-A/(x+1)-B/(x-1)-C/(x+j)-D/(x-j)
et
-F(x) = -A/(x-1)-B/(x+1)-C/(x-j)-D/(x+j).
Par identification, il vient que : A = B et C=D.
Bilan : F(x) = A/(x-1)+A/(x+1)+C/(x-j)+C/(x+j).
A? on multiplie par (x-1) et on fait tendre x vers 1 d'où :
A = 1/4.
C? on multiplie par (x-j) et on fait tendre x vers j d'où C = 1/4.
Conclusion :
F(x) = 1/4(x-1)+1/4(x+1)+1/4(x-j)+1/4(x+j).
Dans R ? Il suffit d'ajouter les deux dernières fractions d'où :
F(x) = 1/4(x-1)+1/4(x+1)+x/(2(x^2+1))
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13 janvier 2006
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09:35
Soit P(x) = x^3-(5+3j)x^2 + (6+10j)x - 8 j
a) Les zéros de P sont-ils conjugués ?
b) chercher la racine réelle de P.
c) Achever la factorisation.
Esquisse de solution
a) NON car la polynôme n'est pas à coefficients réels.
b) Si x est réel en identifiant partie réelle et partie imaginaire, il vient que x^3-5x^2+6x = 0 et -3x^2+10x - 8 = 0. La seule solution commune est x = 2. Il suffit ensuite de diviser par x-2 d'où :
P(x) = (x-2)(x^2-3(1+j) x + 4 j).
Il suffit de chercher les racines du polynôme du second degré : on trouve que les racines sont : 1+j et 2(1+j).
Finalement la factorisation est :
P(x) =(x-2)(x-(1+j)(x-2(1+j)).
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10 janvier 2006
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09:44
Exercice : Décomposer la fraction 1/(x^2(x-1)
Solution : Pas de partie entière. 0 est pôle double et 1 pôle simple d'où la forme de la décomposition :
F(x) = 1/(x^2(x-1) = A/x + B/x^2 + C/(x-1)
C? On multiplie par (x-1) et on fait tendre x vers 1 d'où : C = 1
B? On muliplie par x^2 et on fait tendre x vers 0 d'où : B = -1
A ? On multiplie par x et on fait tendre x vers l'infini d'où : A + C= 0 soit A = -C = -1
Conclusion : F(x) = -1/x -1/x^2 + 1/(x-1)
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4 décembre 2005
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/12
/décembre
/2005
19:19
Exercice : Calculer la dérivée de f définie par f(x) = ln(tan(x)) où x appartient à I = ]0, Pi/2[.
Correction :
Justification de la dérivabilité
Déjà f est bien définie sur I et dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables sur I. En effet : f(x) =f1(f2(x)) où f2(x) = tan(x) et f1(x) = ln(x). f2 est dérivable sur I et quand x est dans I, tan x est dans R+* or f1 est dérivable sur R*+. Donc par composition, f est dérivable sur I.
Calcul de la dérivée
[f1(f2(x))]' = f1'(f2(x)) f2'(x) or f1'(x) = 1/x et f2'(x) = 1+tan(x)^2 ainsi
f(x) = (1+tan(x)^2)/tan(x) = 1/tan(x) + tan(x)
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3 décembre 2005
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18:03
Exercice : Calculer la dérivée de f définie par f(x) = ln(cos(x)) où x appartient à I = [0, Pi/2[.
Correction :
Justification de la dérivabilité
Déjà f est bien définie sur I et dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables sur I. En effet : f(x) =f1(f2(x)) où f2(x) = cos(x) et f1(x) = ln(x). f2 est dérivable sur R donc sur I et quand x est dans I cos x est dans R+* or f1 est dérivable sur R*+. Donc par composition, f est dérivable sur I.
Calcul de la dérivée
[f1(f2(x))]' = f1'(f2(x)) f2'(x) or f1'(x) = 1/x et f2'(x) = - sinx ainsi
f(x) = -sinx/cosx.
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2 décembre 2005
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21:01
Exercice : Calculer la dérivée de f définie par :
f(x) = ln(V(1+x^2))
Notation : V(A) = racine de A.
a) Justification de la dérivabilité
Ici f est définie sur R car l'expression sous le log est > 0. Elle est également dérivable sur R car c'est une composition de fonctions :
f(x) = f1(f2(x)) où f2(x) = (V(1+x^2)) et f1(x) = lnx.
f2 va de R dans R*+ et elle est dérivable sur R (composée de fonctions élémentaires dérivables sur R). De plus f1 est dérivable sur R*+ donc par composition f est dérivable sur R.
b) Calcul de la dérivée
Comme f(x) = ln(1+x^2)/2 il vient que :
f'(x) = 2x/(1+x^2)/2 = x/(1+x^2)
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29 novembre 2005
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22:12
Exercice : Trouver la dérivée de 1/x à l'aide de la définition.
Solution :
"Bonjour,
Comme convenu je vous envoi la solution de l'exercice que vous nous
avez donner en TD qui était : (1/x)'.
J'applique la formule :
lim (f(y)-f(x))/(y-x)
= lim (1/y - 1/x)/(y-x) ( je remplace f(y) et f(x) par
leurs expressions )
y->x
= lim ((x-y)/(xy)) / (y-x) ( je réduit au même dénominateur,
au numérateur )
y->x
= lim (x-y)/xy * 1/(y-x) ( je multiplie par l'inverse )
y->x
= lim (x-y)/xy * -1/(-y+x) ( je multiplie par -1 )
y->x
= lim -1/xy ( après simplifications )
y->x
= lim -1/x² ( car y->x )
y->x
Donc (1/x)' = -1/x².
Avec x défini sur R* car x doit être différent de zéro.
Je vous adresse, monsieur, mes salutations distinguées,
Jonathan Gilbert, Groupe E."
Conclusion : la fonction est dérivable sur R* et (1/x)' = - 1/x^2.
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22 novembre 2005
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09:36
Ida AHITCHEME groupe :F
Exercice 11 du TD 7 : résoudre
7 sh(x) - 3 ch(x) = 2 sh(x) th(x). Je divise par ch(x)
7 sh(x)/ch(x) - 3 = 2 sh(x)/ch(x) th(x)
Or th(x) = sh(x)/ch(x)
D'où : 7 th(x) - 3 = 2 th(x) ^2
On pose X = th(x). D'où à résoudre : - 2 X^2 + 7 X - 3 = 0
Δ = 25, avec Δ = b² - 4*a*c
D’où X = 3 ou X = 1/2
Mais th(x) = 3 impossible car th(x) Є ]-1, 1[
Alors la solution est th(x) = 1/2.
On a déjà résolu cette équation (Cf. solution de Mr Ben Hamouda dans le message précédent). On trouve x = ln3/2 ainsi
S = {ln3/2}
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9 novembre 2005
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00:00
Exercice Résoudre l'équation th(x) = 1/2.
Voici une solution proposée par Nassim Ben Hamouda :
th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x)
th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x) = 1/2
th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 (1+e^-2x)
th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 + 1/2 e^-2x
th(x)=1 - e^-2x - 1/2 - 1/2 e^-2x = 0
th(x)=-3/2 e^-2x + 1/2 = 0
th(x)=-3 e^-2x + 1 = 0
-3 e^-2x = 1
e^-2x = -1/3
-2x = ln (-1/3)
x = -1/2 ln(-1/3)
x = 1/2 ln (3)
Commentaire (NV) : il y a une erreur de signe. La chercher. D'autre part, il serait bien d'interpréter géométriquement cette résolution. Est-il "normal" de n'avoir qu'une solution ?
Voici la rectification apportée par Mr Ben Hamouda :
"th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x)
th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x) = 1/2
>
>th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 (1+e^-2)
>
>th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 + 1/2 e^-2x
>
>th(x)=1 - e^-2x - 1/2 - 1/2 e^-2x = 0
>
>th(x)=-3/2 e^-2x + 1/2 = 0
>
>th(x)=-3 e^-2x + 1 = 0
>
>-3 e^-2x = -1
>
> e^-2x = 1/3
>
>-2x = ln (1/3)
>
>x = -1/2 ln(1/3)
>
>x = 1/2 ln (3)"
Commentaire : si on trace la courbe de y = th x (cf. cours) si on coupe la courbe par la droit d'équation y = 1/2. Effectivement, on "voit" qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection. C'est donc "normal" de n'avoir qu'une solution!
Published by Nassim Ben Hamouda
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