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11 novembre 2010 4 11 /11 /novembre /2010 23:01

Exercice : résoudre : conjugué de z = exp(2 j Pi/3) z^2

Solution: on passe à la forme exponentielle z = r exp(j a) d'où 

r exp(-ja) = r^2 exp (j 2 Pi/3 + j 2 a).

 

Par identifications: r = r^2 d'où r = 0 ou 1. Et - a = 2 pi/3 + 2 a [2 Pi] soit 3a = 2 Pi/3 [2 Pi] et a = 2 Pi/9 [2 pi/3]

ainsi a = 2 Pi/9 ou a = 8 Pi/9 ou a = 14 Pi/9.

 

S = {0, exp(2 Pi j/9), exp (8 Pi j /9, exp (14 Pi j/9)}

Bien à vous. N.V..

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11 novembre 2010 4 11 /11 /novembre /2010 22:48

Exercice: trouver la partie réelle, imaginaire, le module et l'argument de z = 1 - exp (j a).

Solution: 1 - exp(j a) = exp(ja/2) ( exp(-ja/2) - exp (ja/2)) = - 2 j sin (a/2) exp (ja/2) = -2 sin (a/2) exp (j (a+Pi)/2)

 

Si si sin (a/2) est positif (c'est-à-dire si a ...) alors : z = sin (a/2) exp((j(a+ 3Pi)/2) et module = sin (a/2) et arg = (a+3Pi)/2

Sinon : module = - sin (a/2) et argument = (a+ Pi)/2.

 

Bien à vous. N.V.

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16 septembre 2010 4 16 /09 /septembre /2010 19:55

Résoudre racine ((x-1)^2) <=1

 

Solution: On sait que racine(A^2) = abs(A). Donc l'équation se réduit à : abs(x-1) <=1.

De plus, abs(A) <=1 revient à : -1 <= A <=1.

 

Donc on a: -1<= x-1 <=1 et ainsi 0<=x<=2.

Conclusion: S = [0,2]

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30 septembre 2009 3 30 /09 /septembre /2009 13:01
Pour vous entraîner à résoudre des systèmes via la méthode du pivot, je vous recommande vivement de vous entraîner avec Wims: http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=KO639494B1.2&+lang=fr&+module=U1%2Falgebra%2Fsyslin.fr

Bien à vous. NV.
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26 septembre 2009 6 26 /09 /septembre /2009 23:01
Pour s'entraîner à manipuler des sommes et des produits, je recommande la discussion à l'adresse suivante :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,539470,539485#msg-539485

La troisième somme est intéressante: simplifier : 2(2-1) + 3(3-1) + .... i(i-1) + ... n(n-1). Il y a plusieurs façons de procéder dont par récurrence. Bien à vous. NV
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24 septembre 2009 4 24 /09 /septembre /2009 13:06
Exercice:
a) Mettre 3,12 12 12 sous forme de fraction.
b) Même chose avec 3, 12 12 12 .. .. .. .. ..
Solution:
Pour a) on écrit: 3,12 12 12 = 3 12 12 12 / 1 00 00 00 puis on simplifie la fraction pour la mettre sous forme de fraction irréductible en cherchant le PGCD du numérateur et du dénominateur puis en simplifiant.

Pour b) soit A le nombre, le bloc de chiffres répété est 12, en multipliant par 100, il vient:

100 A = 312, 12 12 12 12 .. .. .. = 309 + 3, 12 12 12 .. .. .. ... = 309 + A
Ainsi 99 A = 309 d'où : A = 309/99 = 303/33.

Extension : concevoir un algorithme pour un nombre rationnel quelconque écrit sous sa forme décimale (et donc avec un bloc de chiffres répété infiniment). Bien à vous. NV.
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18 septembre 2008 4 18 /09 /septembre /2008 17:20
Résoudre : Absolute (x^2-1) = 2x où Absolute désigne la valeur absolue.

Solution: Si x^2-1 est positif c'est-à-dire sur I =  ]-Infini, -1] U [1, + infini[ cela revient à résoudre : x^2-1=2x soit x^2-2x-1= 0. Cette équation admet deux solutions : 1-Racine de 2 et 1 + racine de 2. Seule la deuxième est acceptable car elle est dans I.
Si x^2-1 est négatif c'est-à-dire sur J =  ]-1, 1[ cela revient à résoudre : - x^2+1=2x soit x^2+2x-1= 0. Cette équation admet deux solutions : -1-Racine de 2 et -1 + racine de 2. Seule la deuxième est acceptable car elle est dans J.

Conclusion: S = {-1+racine de 2, 1 + racine de 2}. Bien à vous. NV


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15 décembre 2007 6 15 /12 /décembre /2007 19:25

Exercice :

Résoudre l'équation algébrique :

x^6  - 12 x^4 - 2 x^3 + 37 x^2 + 10 x - 10 = 0

(On peut commencer par supposer que l'équation admet des racines opposées).

 

Solution : Cf. la discussion sur le site de "Les Mathématiques.net" pour avoir une solution complète :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?17,409433,414030#msg-414030

Bien à vous. NV.

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8 décembre 2007 6 08 /12 /décembre /2007 09:54

Sur le forum des mathématiques.net, on trouve à étudier une fonction. Il ne serait pas inintéressant pour vous de finaliser l'étude en intervenant directement sur le forum :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,409992,410020#msg-410020

 

Bien à vous. NV

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7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 18:50

Question : la fonction définie par f(x) = Abs(x)^ (3/2)  (où abs désigne la fonction valeur absolue et ^ 3/2 l'élévation à la puissance 3/2)  est-elle dérivable en 0 ?

Réponse : Cf. la discussion à ce propos dans le forum : Les mathématiques.net à l'adresse suivante :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?6,412607,412670#msg-412670

 

Bien à vous. NV.

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