Au quotidien, à des degrés divers, nous sommes amenés à effectuer de nombreux calculs. Les mathématiciens mettent au point des méthodes permettant de faire des calculs exacts et rapides. De plus en plus rapides. Les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division sont à la base des mathématiques. Elles s’appliquent aux nombres mais aussi à d’autres objets conçus par les mathématiciens.
Les quatre opérations
Nous avons du mal à imaginer aujourd’hui qu’effectuer des multiplications était jusqu’à la Renaissance (XVe – XVIe siècle), réservé à quelques rares savants. Mais pour se rendre compte de la complexité des calculs, il n’y a qu’à essayer de faire une multiplication avec des chiffres romains ! Au fil des siècles, les techniques calculatoires associées aux quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) se sont affinées et sont encore aujourd’hui l’objet de nombreuses recherches dans des domaines comme l’informatique. Donnons un exemple, sous forme d’anecdote historique, pour montrer à quel point avec un peu d’astuce, on peut considérablement améliorer la rapidité de calcul. Cet exemple fait seulement appel à la notion d’addition.
Une addition rapide avec le jeune Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
Karl Friedrich Gauss est souvent surnommé comme le « Prince de l’arithmétique ». On rapporte une anecdote le concernant alors qu’il était écolier. Le maître d’école demande à ses élèves de sommer tous les nombres de un à cent autrement dit de calculer : 1+2+3+ …+ 100. Le jeune Karl Friedrich, très rapidement, donne le résultat. Au lieu de suivre ses camarades dans leurs laborieuses additions de proche en proche, il remarque que : 1+100=101 ; 2+99 = 101 ; 3 + 98 = 101 ; … et ainsi de suite jusqu’à la dernière somme, la cinquantième : 50 + 51 = 101. À chaque fois, on trouve 101, or on retrouve cinquante fois cette valeur donc la somme recherchée vaut 101 × 50 soit 5050. La façon de procéder est d’autant plus intéressante qu’elle se généralise aisément. Cette méthode vaut pour 100 comme nous venons de le voir mais s’adapte pour 10 000 ou pour n’importe quel nombre. Ce n’est donc pas une simple astuce de calcul ; c’est une véritable méthode.
Karl Friedrich Gauss, « Le prince de l’arithmétique » (1777-1855)
Des calculs de plus en plus rapides
L’exemple précédent illustre bien l’une des facettes des mathématiques. Le mathématicien, sans cesse confronté à des calculs de plus en plus fastidieux provenant de différentes disciplines (physique, biologie, économie, …), doit imaginer en permanence de nouvelles méthodes, afin d’effectuer les calculs de plus en plus rapidement. Ajouter, retrancher, multiplier et diviser sont quatre des activités quotidiennes du mathématicien. Seulement, il ne restreint pas ces activités aux nombres, il essaie d’étendre les propriétés des quatre opérations à d’autres types d’objets, comme des fonctions.
Mémoire
Combien font 3 755 998 251 × 5 162 303 508 ? C’est la question posée par un professeur à un élève lors d’un cours particulier dans la pièce de théâtre, La Leçon, d’Eugène Ionesco. L’élève « [ayant appris] par cœur tous les résultats possibles de toutes les multiplications possibles », répond du tac au tac 19 390 002 844 219 164 508.
… et raisonnement
Le professeur surpris et excédé explique à son élève « [qu’en] mathématiques […] ce qui compte c’est de comprendre […]. C’est par un raisonnement mathématique, inductif et déductif à la fois [qu’il] aurait dû trouver ce résultat […]. Les mathématiques sont les ennemies acharnées de la mémoire ». Figurez-vous que la réponse donnée est fausse ! Le résultat est 19 389 602 947 179 164 508. Cela, Ionesco ne le précise pas.
Prochain chapitre, dans une quinzaine de jours.
Bien à vous.
NV
KB, ce dimanche 18 septembre 2011.
