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18 septembre 2011 7 18 /09 /septembre /2011 20:00

Au quotidien, à des degrés divers, nous sommes amenés à effectuer de nombreux calculs. Les mathématiciens mettent au point des méthodes permettant de faire des calculs exacts et rapides. De plus en plus rapides. Les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division sont à la base des mathématiques. Elles s’appliquent aux nombres mais aussi à d’autres objets conçus par les mathématiciens.

Les quatre opérations

Nous avons du mal à imaginer aujourd’hui qu’effectuer des multiplications était jusqu’à la Renaissance (XVe – XVIe siècle), réservé à quelques rares savants. Mais pour se rendre compte de la complexité des calculs, il n’y a qu’à essayer de faire une multiplication avec des chiffres romains ! Au fil des siècles, les techniques calculatoires associées aux quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) se sont affinées et sont encore aujourd’hui l’objet de nombreuses recherches dans des domaines comme l’informatique. Donnons un exemple, sous forme d’anecdote historique, pour montrer à quel point avec un peu d’astuce, on peut considérablement améliorer la rapidité de calcul. Cet exemple fait seulement appel à la notion d’addition.

Une addition rapide avec le jeune Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

Karl Friedrich Gauss est souvent surnommé comme le « Prince de l’arithmétique ». On rapporte une anecdote le concernant alors qu’il était écolier. Le maître d’école demande à ses élèves de sommer tous les nombres de un à cent autrement dit de calculer : 1+2+3+ …+ 100. Le jeune Karl Friedrich, très rapidement, donne le résultat. Au lieu de suivre ses camarades dans leurs laborieuses additions de proche en proche, il remarque que : 1+100=101 ; 2+99 = 101 ; 3 + 98 = 101 ; … et ainsi de suite jusqu’à la dernière  somme, la cinquantième : 50 + 51 = 101. À chaque fois, on trouve 101, or on retrouve cinquante fois cette valeur donc la somme recherchée vaut 101 × 50 soit 5050. La façon de procéder est d’autant plus intéressante qu’elle se généralise aisément. Cette méthode vaut pour 100 comme nous venons de le voir mais s’adapte pour 10 000 ou pour n’importe quel nombre. Ce n’est donc pas une simple astuce de calcul ; c’est une véritable méthode.

Gauss.jpg

                                             Karl Friedrich Gauss, « Le prince de l’arithmétique » (1777-1855)

 

Des calculs de plus en plus rapides

L’exemple précédent illustre bien l’une des facettes des mathématiques. Le mathématicien, sans cesse confronté à des calculs de plus en plus fastidieux provenant de différentes disciplines (physique, biologie, économie, …), doit imaginer en permanence de nouvelles méthodes, afin d’effectuer les calculs de plus en plus rapidement. Ajouter, retrancher, multiplier et diviser sont quatre des activités quotidiennes du mathématicien. Seulement, il ne restreint pas ces activités aux nombres, il essaie d’étendre les propriétés des quatre opérations à d’autres types d’objets, comme des fonctions.

 

Mémoire

Combien font 3 755 998 251 × 5 162 303 508 ?  C’est la question posée par un professeur à un élève lors d’un cours particulier dans la pièce de théâtre, La Leçon, d’Eugène Ionesco. L’élève « [ayant appris] par cœur tous les résultats possibles de toutes les multiplications possibles », répond du tac au tac 19 390 002 844 219 164 508.

 

… et raisonnement

Le professeur surpris et excédé explique à son élève « [qu’en] mathématiques […] ce qui compte c’est de comprendre […]. C’est par un raisonnement mathématique, inductif et déductif à la fois [qu’il] aurait dû trouver ce résultat […]. Les mathématiques sont les ennemies acharnées de la mémoire ». Figurez-vous que la réponse donnée est fausse ! Le résultat est 19 389 602 947 179 164 508. Cela, Ionesco ne le précise pas.

 

 

Prochain chapitre, dans une quinzaine de jours.

Bien à vous.

NV

KB, ce dimanche 18 septembre 2011.

 

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Published by Norbert Verdier - dans Les maths çà sert à quoi
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2 septembre 2011 5 02 /09 /septembre /2011 10:24

Les maths : ça sert à quoi ?

 

En 1998, je publiais « À quoi servent les mathématiques ? » aux Éditions Milan (Collection Les essentiels). Cet ouvrage aujourd’hui épuisé a été vendu à 12 000 exemplaires environ. Une réédition avec pour titre "Les maths? çà sert à quoi?" [Merci Imène. :)]] est envisageable et envisagée. La réécriture sera proposée sur ce blog chaque quinzaine. Vos commentaires sont les bienvenus. Bien à vous. N.V.

 

À propos de la poésie, le poète Alain Bosquet déclarait :

 

« À quoi sert la poésie ou, plus exactement, sa forme la plus tangible, le poème ? À quoi sert l’arbre tout seul dans la prairie ou le murmure de la mer, ou l’azur ? Le besoin du poème est aussi ancien que le besoin de l’absolu […]. L’utilité immédiate du poème est nulle. Mais il possède le pouvoir de remuer une sensibilité. De toutes les formes verbales, il est le plus apte à provoquer l’interrogation. À travers lui la conscience se purifie et permet à l’homme de se projeter dans un temps et dans un espace où règnent la fable et l’exaltation. On peut le rapprocher de la prière ; une prière laïque qui n’invoque aucun dieu. Celui qui l’écrit, découvre ses ramifications profondes. Celui qui le lit, ressent l’espace de quelques instants, comme une métamorphose radicale. ».

 

Étrangement, la réponse du poète pourrait concerner notre interrogation : « Les maths ? çà sert à quoi ? ». Dans cet ouvrage, nous allons montrer que les mathématiques ne peuvent être réduites à une science dogmatique composées de théorèmes et d’applications aux sciences physiques. Certes, leur « utilité immédiate » n’est pas nulle ! Elles permettent de calculer, de mesurer, de concevoir des instruments de communications dont nous sommes tous les utilisateurs (ordinateurs, téléphones portables, etc.). Mais elles sont bien plus que cela ! Elles dérivent, elles aussi, d’un « besoin d’absolu » (comprendre, réfléchir, penser, etc.) et ne cessent d’interroger le temps et l’espace. Par le pouvoir des mots, nous invitons le lecteur à découvrir les « ramifications profondes » des mathématiques afin qu’à la manière de celui qui contemple une œuvre d’art, il « ressente l’espace de quelques instants, comme une métamorphose radicale ».

 

La suite, vers mi-septembre. N.V.

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Published by Norbert Verdier - dans Les maths çà sert à quoi
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