22 octobre 2006
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Exercice : Résoudre par deux méthodes l''équation aux différences :
u(n+2) + u(n) = 0 avec u(0) = 0 et u(1) = 1.
Première méthode : C'est une suite récurrente linéaire du deuxième ordre à coefficients constants. Son équation caractéristique est : X^2 + 1 = 0 d'où 2 racines - j et j. Les solutions sont de la forme : u(n) = a j^n + b (-j)^n. Avec les conditions initiales on trouve : a = -j/2 et b = j/2. D'où au final : u(n) = - cos ((n+1)Pi/2).
Deuxième méthode : avec la transformée en z.
L'équation transformée est : U(z) = z/(z^2+1) ainsi l'inverse est : u(n) = -cos((n+1) Pi/2).
Bien à vous. [Le Kremlin Bicêtre, le 22 octobre 2006].
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