Overblog Suivre ce blog
Administration Créer mon blog

Recherche

10 septembre 2017 7 10 /09 /septembre /2017 16:12
Bonjour;
 
Pour démontrer le théorème des suites adjacentes (deux suites adjacentes (une est croissante, l'autre est décroissante et leur écart tend vers 0) sont convergentes vers la même limite), je vous invite à consulter, un crayon à la main :
http://www.educastream.com/suites-adjacentes-terminale-s
 
Bon dimanche. N.V.
Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
9 septembre 2017 6 09 /09 /septembre /2017 12:36

Mesdames, messieurs;

 

Pour tout savoir sur les suites arithémético-géométriques (uo donné et u(n+1) = a u(n) + b), consulter (un crayon à la main):

 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

 

Bon samedi & bien à vous. N.V.

 

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
15 novembre 2012 4 15 /11 /novembre /2012 09:44

Déterminer l'original de f(z) = 1/(z^2-2).

 

On décompose la fraction selon:

f(z) = A/(z-rac(2)) + B/(z+ rac(2)). On trouve A= rac(2)/4 et B = -A.

 

Ensuite l'original de z/(z- rac(2)) est rac(2)^n U(n) donc l'original de 1/(z-rac(2)) est rac(2)^(n-1) U(n-1) (th. du retard). De même pour l'autre fraction élémentaire.

 

Il en résulte que l'original de f est (toutes simplifications faites):

rac(2)/ 4 fois (rac(2)^(n-1) +  (-rac(2))^n) U(n-1)

 

Bon travail, ce jeudi 15 novembre 2012. N.V.

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
14 novembre 2012 3 14 /11 /novembre /2012 11:40

Quelle est la transformée en z de la suite n^2 U(n)?

 

On sait que la transformée de n x_n est - z fois la dérivée de la transformée de x_n (propriété du cours).

 

si x_n = 1, on sait que la transformée est z/(z-1) (nous ne rappelons pas ici les conditions) on a déduit en cours que la transfomée de n est : z/(z-1)^2.

 

On en déduit donc (toujours avec la même propriété)  que la transfomée de n^2 est - z fois la dérivée de z/(z-1)^2.

 

Après quelques menus calculs, on trouve que: la transformée recherchée est: [z(z+1)]/(z-1)^3.

 

AInsi on peut continuer et calculer les transformées de n^3, n^4, ....

 

Conseil : dans la rubrique "semestre 3", vous pouvez trouver plein d'autres exercices (provenant d'années antérieures) sur la transformée en z, transformée de Fourier, ... c'est à consulter!

 

Bon travail et bien à vous. N.V. 

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
10 janvier 2010 7 10 /01 /janvier /2010 18:31
Calculer l'espérance et la variance d'une loi unforme (discrète) [Loi dont l'univers est {1,2,3, ....N} et telle que P(X=i) = 1/N].

L'espérance vaut E(x) = sigma (i fois 1/N) pour i variant entre 1 et N. On a trouvé en TD que : E(X) = (N+1)/2.

La variance vaut V(X) = sigma (i - E(X))^2 fois 1/N) pour i variant entre 1 et N.

En développant, on trouve :
V(X) = sigma (i^2  . 1/N) pour i variant entre 1 et N  -  sigma (i (N+1) /N) pour i variant entre 1 et N +  sigma ((N+1/2)^2) 1/N pour i variant entre 1 et N = A - B + C

C = (N+1)^2/4
B = (N+1)/N sigma i = (N+1)^2/2
A = sigma (i^2  . 1/N) pour i variant entre 1 et N = 1/N sygma i^2 = 1/N  . (N (N+1)(2N +1))/ 6 (la somme des entiers au carré est une formule connue) = (N+1)(2N+1)/6

D'où V(X) = (N+1)(2N+1)/6 - (N+1)^2/4 = (n^2 - 1)/12. 

Conclusion : Pour X une loi unforme (discrète), E(X) = (N+1)/2 et V(X) = (n^2 - 1)/12. 
Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
2 janvier 2008 3 02 /01 /janvier /2008 22:43

Bonjour à tous et meilleurs voeux 2008;

Ci-joint une discussion autour d'un petit exercice de probabilité élémentaire, histoire de ne pas perdre la main :

cf. http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?12,414068,414073#msg-414073

 

Bien à vous. NV, Pau (Ousse des Bois), le 02 janvier 2008

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
20 décembre 2007 4 20 /12 /décembre /2007 17:52

Enoncé : Dans un groupe de 40 personnes, quelle est la probabilité pour que deux personnes aient au moins le même jour anniversaire ?

Solution : Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires#D.C3.A9monstration

Pour 40 personnes, il est donc fortement probable pour que cette situation se réalise.

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 19:00

Un intervenant du forum "Les mathématiques.net" cherche à maximiser ou minimiser la fonction :

f(x,y) =x exp((-x^2 - y^2)/2). Pouvez-vous l'aider en intervenant sur le forum à l'adresse :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,411703,411801#msg-411801

Bien à vous. NV

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
2 décembre 2007 7 02 /12 /décembre /2007 23:12

Exercice :

a) Soit g(x,y) = xy/(x+y). Calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elle vérifie l'équation aux dérivées partielles : (E) f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2

b) Montrer que les solutions de (E) sont obtenues en sommant g aux solutions de l'équation homogène

(E0) : f'x + f'y = 0

c) Grâce au changement de variables u = x - y et v = x montrer que (E0) est équivalente à F'v = 0 avec F(u,v) = f (x(u,v), y(u,v)). Achever la résolution de (E0) puis de (E).

Eléments de correction :

a) Elémentaire.

b) soit f une solution de (E), il vient : f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2 de plus g vérifie aussi (E) donc

g'x + g'y = 1 - 2xy/(x+y)^2. En soustrayant, il vient f'x + f'y  - (g'x + g'y ) = 0 soit

(f-g)'x + (f-g)'y = 0. Autrement dit f-g est solution de (E0). Réciproquement et pour des raisons similaires si j'ajoute g à une solution de (E0) j'obtiens bien une solution de (E). CQFD.

c) F'v = f'x x'v + f'y y'v (théorème de dérivation dans le cadre d'un changement de variables) soit :

F'v = f'x 1 + f'y 1 = f'x + f'y (car x = v d'où x'v = 1 et y = x-u = v- u d'où y'v = 1)

Donc (E0) est équivalente à :  F'v = 0.

F'v = 0 d'où F(u,v) = a(u)  donc f(x,y) = a (x-y) donc les solutions de (E) sont de la forme :

a(x-y) + xy/(x+y). 

 

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article
9 novembre 2007 5 09 /11 /novembre /2007 18:32

Exercice : déterminer les lignes de niveau de la surface d'équation z = 2 x^2 + y^2. 

Solution : Il s'agit de déterminer l'intersection avec des plans "de hauteur k"

Soit k = 2 x^2 + y^2. Si k est strictement négatif c'est impossible; sinon c'est une ellipse pour laquelle : a = racine(k/2) et b = racine(k).

Remarque :  Il est d'ailleurs aisé de déterminer la forme de cette surface. "De face" (x=0) on voit "une parabole élémentaire"; de côté, une parabole d'équation z = 2 x^2. Globalement, il s'agit d'un "cône elliptique s'appuyant" à hauteur 1 sur l'ellipse d'équation  1 = 2 x^2 + y^2. 

Repost 0
Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem3
commenter cet article

Articles Récents

Liens