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15 novembre 2012 4 15 /11 /novembre /2012 09:44

Déterminer l'original de f(z) = 1/(z^2-2).

 

On décompose la fraction selon:

f(z) = A/(z-rac(2)) + B/(z+ rac(2)). On trouve A= rac(2)/4 et B = -A.

 

Ensuite l'original de z/(z- rac(2)) est rac(2)^n U(n) donc l'original de 1/(z-rac(2)) est rac(2)^(n-1) U(n-1) (th. du retard). De même pour l'autre fraction élémentaire.

 

Il en résulte que l'original de f est (toutes simplifications faites):

rac(2)/ 4 fois (rac(2)^(n-1) +  (-rac(2))^n) U(n-1)

 

Bon travail, ce jeudi 15 novembre 2012. N.V.

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14 novembre 2012 3 14 /11 /novembre /2012 11:40

Quelle est la transformée en z de la suite n^2 U(n)?

 

On sait que la transformée de n x_n est - z fois la dérivée de la transformée de x_n (propriété du cours).

 

si x_n = 1, on sait que la transformée est z/(z-1) (nous ne rappelons pas ici les conditions) on a déduit en cours que la transfomée de n est : z/(z-1)^2.

 

On en déduit donc (toujours avec la même propriété)  que la transfomée de n^2 est - z fois la dérivée de z/(z-1)^2.

 

Après quelques menus calculs, on trouve que: la transformée recherchée est: [z(z+1)]/(z-1)^3.

 

AInsi on peut continuer et calculer les transformées de n^3, n^4, ....

 

Conseil : dans la rubrique "semestre 3", vous pouvez trouver plein d'autres exercices (provenant d'années antérieures) sur la transformée en z, transformée de Fourier, ... c'est à consulter!

 

Bon travail et bien à vous. N.V. 

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10 janvier 2010 7 10 /01 /janvier /2010 18:31
Calculer l'espérance et la variance d'une loi unforme (discrète) [Loi dont l'univers est {1,2,3, ....N} et telle que P(X=i) = 1/N].

L'espérance vaut E(x) = sigma (i fois 1/N) pour i variant entre 1 et N. On a trouvé en TD que : E(X) = (N+1)/2.

La variance vaut V(X) = sigma (i - E(X))^2 fois 1/N) pour i variant entre 1 et N.

En développant, on trouve :
V(X) = sigma (i^2  . 1/N) pour i variant entre 1 et N  -  sigma (i (N+1) /N) pour i variant entre 1 et N +  sigma ((N+1/2)^2) 1/N pour i variant entre 1 et N = A - B + C

C = (N+1)^2/4
B = (N+1)/N sigma i = (N+1)^2/2
A = sigma (i^2  . 1/N) pour i variant entre 1 et N = 1/N sygma i^2 = 1/N  . (N (N+1)(2N +1))/ 6 (la somme des entiers au carré est une formule connue) = (N+1)(2N+1)/6

D'où V(X) = (N+1)(2N+1)/6 - (N+1)^2/4 = (n^2 - 1)/12. 

Conclusion : Pour X une loi unforme (discrète), E(X) = (N+1)/2 et V(X) = (n^2 - 1)/12. 
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2 janvier 2008 3 02 /01 /janvier /2008 22:43

Bonjour à tous et meilleurs voeux 2008;

Ci-joint une discussion autour d'un petit exercice de probabilité élémentaire, histoire de ne pas perdre la main :

cf. http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?12,414068,414073#msg-414073

 

Bien à vous. NV, Pau (Ousse des Bois), le 02 janvier 2008

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20 décembre 2007 4 20 /12 /décembre /2007 17:52

Enoncé : Dans un groupe de 40 personnes, quelle est la probabilité pour que deux personnes aient au moins le même jour anniversaire ?

Solution : Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires#D.C3.A9monstration

Pour 40 personnes, il est donc fortement probable pour que cette situation se réalise.

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7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 19:00

Un intervenant du forum "Les mathématiques.net" cherche à maximiser ou minimiser la fonction :

f(x,y) =x exp((-x^2 - y^2)/2). Pouvez-vous l'aider en intervenant sur le forum à l'adresse :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,411703,411801#msg-411801

Bien à vous. NV

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2 décembre 2007 7 02 /12 /décembre /2007 23:12

Exercice :

a) Soit g(x,y) = xy/(x+y). Calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elle vérifie l'équation aux dérivées partielles : (E) f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2

b) Montrer que les solutions de (E) sont obtenues en sommant g aux solutions de l'équation homogène

(E0) : f'x + f'y = 0

c) Grâce au changement de variables u = x - y et v = x montrer que (E0) est équivalente à F'v = 0 avec F(u,v) = f (x(u,v), y(u,v)). Achever la résolution de (E0) puis de (E).

Eléments de correction :

a) Elémentaire.

b) soit f une solution de (E), il vient : f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2 de plus g vérifie aussi (E) donc

g'x + g'y = 1 - 2xy/(x+y)^2. En soustrayant, il vient f'x + f'y  - (g'x + g'y ) = 0 soit

(f-g)'x + (f-g)'y = 0. Autrement dit f-g est solution de (E0). Réciproquement et pour des raisons similaires si j'ajoute g à une solution de (E0) j'obtiens bien une solution de (E). CQFD.

c) F'v = f'x x'v + f'y y'v (théorème de dérivation dans le cadre d'un changement de variables) soit :

F'v = f'x 1 + f'y 1 = f'x + f'y (car x = v d'où x'v = 1 et y = x-u = v- u d'où y'v = 1)

Donc (E0) est équivalente à :  F'v = 0.

F'v = 0 d'où F(u,v) = a(u)  donc f(x,y) = a (x-y) donc les solutions de (E) sont de la forme :

a(x-y) + xy/(x+y). 

 

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9 novembre 2007 5 09 /11 /novembre /2007 18:32

Exercice : déterminer les lignes de niveau de la surface d'équation z = 2 x^2 + y^2. 

Solution : Il s'agit de déterminer l'intersection avec des plans "de hauteur k"

Soit k = 2 x^2 + y^2. Si k est strictement négatif c'est impossible; sinon c'est une ellipse pour laquelle : a = racine(k/2) et b = racine(k).

Remarque :  Il est d'ailleurs aisé de déterminer la forme de cette surface. "De face" (x=0) on voit "une parabole élémentaire"; de côté, une parabole d'équation z = 2 x^2. Globalement, il s'agit d'un "cône elliptique s'appuyant" à hauteur 1 sur l'ellipse d'équation  1 = 2 x^2 + y^2. 

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3 octobre 2007 3 03 /10 /octobre /2007 23:32

Exercice : Calculer la transformée en z du signal numérique défini par : f(n) = 1 si n est impair et f(n) = 0 si n est pair.

Solution : La transformée en z du signal  est définie par :

F(z) = sygma (f(n)/z^n), n allant de 0 à l'infini) donc avec la définition de f(n), il vient que :

F(z) = sygma (/z^((2m+1)), m allant de 0 à l'infini). D'où F(z) = 1/z  sygma (/z^(2m), m allant de 0 à l'infini).

La dernière série  est géométrique de raison 1/z^2. D'où :

F(z) = 1/z   fois  (1-1/z^2) = z/(z^2-1) avec comme condition de convergence : module de 1/z^2 inférieur strictement à 1, soit module de z supérieur strictement à 1.

Bien à vous. NV.

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1 octobre 2007 1 01 /10 /octobre /2007 21:34

Exercice : Calculer la transformée en z du signal numérique défini par : f(n) = 1 si n est pair et f(n) = 0 si n est impair.

Solution : La transformée en z du signal  est définie par :

F(z) = sygma (f(n)/z^n), n allant de 0 à l'infini) donc avec la définition de f(n), il vient que :

F(z) = sygma (/z^(2n)), n allant de 0 à l'infini). On reconnaît une série géométrique de raison 1/z^2. D'où :

F(z) = 1/(1-1/z^2) = z^2/(z^2-1) avec comme condition de convergence : module de 1/z^2 inférieur strictement à 1, soit module de z supérieur strictement à 1.

Bien à vous. NV.

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