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30 septembre 2005 5 30 /09 /septembre /2005 00:00

Soit S = 1+3+...+2n-1

Méthode 1 : On reconnaît la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. En posant : u_n=2n+1, il vient du cours :

S=u_0+u_1+...u_(n-1) = n/2   (u_0+u_(n-1)) = n/2 (1 + 2n -1) = n^2

Méthode 2 : on peut "pressentir" le résultat en faisant des tests numériques. Il suffit ensuite de le démontrer par récurrence sur n.

Méthode 3 :

S = 1 +  3+ ....(2n-1)

S = (2n-1) + (2n-3) + ...+ 3 + 1 (écriture de S "dans l'autre sens").

En sommant, les termes on remarque qu'on obtient toujours 2n, cela se produit n fois d'où :

2 S = 2n^2 ainsi S = n^2

Méthode 4 :

S = 1+2 +3 + ......2n - (2+4+6+....+2n) (on rajoute et on retranche les pairs) d'où

S = 1+2+3+4+....+2n - 2(1+2+3+...+n)

Chacune des deux sommes est une des sommes classiques de la forme :

1+2+3+...+N = N(N+1)/2 d'où

S = 2n(2n+1)/2 - 2  n(n+1)/2 = n^2.

Remarque : pour d'autres exemples de suites arithmétiques et géométriques, cf. mon livre (à la bibliothèque) : "Séries, Transformations, Intégrations", Ed. ESKA, 1997, pages 17-18.

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Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem1
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28 septembre 2005 3 28 /09 /septembre /2005 00:00

Ci-joint la correction de Julien Labiche :

"Soit ce système:
(1) {x-y+z-u=0
(2) {2x+y-z+2u=0
(3) {2y+3z+u=0

1ere étape: on élimine x
pour cela on prend (1) comme ligne pivot puis on effectue (2)-2*(1)
(1) {x-y+z-u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {2y+3z+u=0

2eme étape: on élimine y dans (3)
pour cela on effectue 3*(3)-2*(2)
(1) {x-y+z+u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {15z-5u=0

on obtient alorz u en fonction de z: u=15/5z
                                    u=3z

on remplace u dans (2) pour trouver y en fonction de z:
(2) : {3y-3z+12z=0 {y=-3z

on remplace u et y dans (1) pour trouver x
(1) : {x-(-3z)+z+3z=0 {x=-7z

donc:
{x=-7z
{y=-3z         S={(-7;-3;1;u)} et la droite passant par A(0
{u=3z                                                                    0
{z=z                                                                      0
                                                                           
0. Julien Labiche"

Commentaire (NV) : la résolution est correcte mais pas la fin. En fait, on a : x=-z, y = -3 z, z = z, u = 3z et z quelconque.

Par analogie avec ce qu'on a fait dans le plan, on peut dire que la solution est une "droite" passant par (0,0,0,0) et de "vecteur directeur" : (-1,-3,1,3). Ici évidemment on ne peut pas représenter géométriquement ce type de situation. La représentation géométrique ne peut se faire que lorsque l'on a 2 ou 3 variables.

 

 

 

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Published by Julien Labiche - dans GEII_Sem1
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14 septembre 2005 3 14 /09 /septembre /2005 00:00
Ce blog est principalement destiné à mes étudiants de l'IUT de Cachan (département électronique). Ils trouveront dans ces pages des éléments de correction concernant des exercices proposés. Ils sont invités à être lecteurs mais aussi auteurs en me suggérant des pistes de résolution. Bon travail! NV [Le Kremlin Bicêtre, le 14 septembre 2005]
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Published by Norbert Verdier - dans norbert.verdier
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