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2 avril 2010 5 02 /04 /avril /2010 14:44

BernhardRiemannQuestion de cours: Il fallait démontrer le théorème de Green-Riemann dans le cas d'un rectangle. Cf. cours en amphi.

 

L'exercice 1 consistait à intégrer ln(1+x)/(1+x) pour x variant entre 0 et 1. On remarque que la fonction à intégrer est de la forme : u u' d'où une primitive u^2/2. Ainsi Intégrale = (ln2)^2/2. Sur 34 copies, 15 copies ont eu le maximum. Les autres se sont trompés (en confondant (ln a)^2 et ln(a^2)), en commençant une intégration par partie sans la finir correctement ou n'ont rien présenté de significatif.

 

L'exercice 3 consistait à représenter la surface d'équation : 3 x^2 + y^2 + z^2/2 = 1 et à calculer son volume. Il s'agit d'un ellipsoïde. Cette étude a été faite au cours du semestre 3. On coupe la surface par des plans horizontaux, verticaux et latéraux. A chaque fois ce sont des ellipses. La calcul du volume d'un ellipsoïde de paramètres a, b et c a été faite (par plusieurs méthodes), on trouve 4/3 Pi abc. Ici a = 1/racine de 3, b = 1 et c = racine de 2. D'où

 V= 4/3 Pi racine de 2/racine de 3.

 

 

Bernhardt Riemann (1826-1866)

 

Exercice

4)a)

Pour calculer l'intégrale soit on calcule directement l'intégrale curviligne en paramétrant les deux portions de courbes. On trouve 2/3. Soit grâce à Riemann, on est amené à calculer 2 fois l'intégrale de 1 entre les deux courbes. Grâce au théorème de Fubini, on retrouve le même résultat. De plus, Riemann permet d'interpréter géométriquement. Cette intégrale représente deux fois l'aire entre les deux courbes.

 

4)b)

La forme est exacte car son rotationnel est nul. Pour touver f dont elle est différentielle totale, soit on résout le système d'équations aux dérivées partielles, soit on voit d'emblée que f(x,y,z) = sin(xyz) + C. Ensuite, pour calculer l'intégrale, il suffit de calculer f(B) - f(A). On trouve 2.

 

Bien à vous. NV.

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Published by Norbert Verdier - dans Poursuite d'études
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