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1 octobre 2005 6 01 /10 /octobre /2005 00:00

Enoncé : démontrer que "racine de 3" (qu'on notera V3 ici) est irrationnel. En déduire que (V3-1)/4 l'est aussi.

Dém: On s'inspirera de la dém. de l'irrationalité de V2 faite en cours. Pour ce faire, on aura besoin d'un résultat préliminaire (un "lemme") :

Lemme : si p^2 est un multiple de 3 alors p aussi.

Dém du lemme : sinon p ne serait pas multiple de 3 donc p s'écrirait :

p = 3 k +1 ou p = 3 k +2. En élevant au carré, on retomberait sur un nombre qui n'est pas un multiple de 3. C'est contradictoire avec l'hypothèse.

Dém du résultat : si V3 n'est pas irrationnel, il est rationnel d'où V3 = p/q (une fraction d'entiers supposée écrite sous forme irréductible). Ainsi en élevant au carré, il viendrait que : 3 = p^2/q^2 d'où p^2 = 3 q^2. p^2 serait multiple de 3 donc p aussi. Ainsi p s'écrirait :

p = 3 p'. En injectant dans la relation p^2 = 3 q^2 il vient que :

q^2 = 3 p'^2. Ainsi q^2 donc q serait multiple de 3 : c'est contradictoire avec l'hypothèse de départ, la fraction ne serait pas irréductible, puisqu'on peut diviser par 3. Le tour est joué : V3 est irrationnel.

Il en résulte que : (V3-1)/4 est irrationnel. En effet ce nombre est la somme d'un irrationnel : V3/4 et d'un rationnel -1/4.

Complément : Démontrer que V5 est irrationnel.

Cordialement. NV

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Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem1
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