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1 octobre 2005 6 01 /10 /octobre /2005 00:00

[Exercice n°25, TD n° 1]

On recherche parmi les rectangles dont l'aire est égale à 36 cm2, s'il en existe un de périmètre minimal.

Voici une solution analytique (utilisant les fonctions)

Soient x et y les dimensions du rectangles : on a donc xy = 36. On cherche à minimiser 2(x+y) ou encore x+y = x + 36/x. Il s'agit donc de minimiser une fonction d'une variable f(x) = x+36/x sachant que x>0. Il faut donc chercher quand sa dérivée s'annule. On trouve f'(x) = 1 - 36/x^2. Elle s'annule en x = 6. En ce point, la dérivée change de signe. La fonction est décroissante si x<6 et croissante pour x>6. C'est donc le point qui réalise le minimum. Il faut donc que x = y = 6. Le rectangle est un carré! Le périmètre vaut, dans ce cas, 24.

Il existe bien sûr d'autres méthodes.

NV [KB, 14/09/05; 18 H 54]

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Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem1
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