Un peu de proba

Exercice : (posé en DS en 2005). Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur. On note E l'événement : une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme. On suppose que la probabilité de l'événement E est 0,9. On prélève au hasard 10 pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces. On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces.

a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire ?

b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes.

Une épreuve n'a que deux issues possibles, et on a la répétition de manière indépendante de cette épreuve. En conséquence, la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n= 10 et p = 0,9 .

L'événement '' 8 pièces au moins soit conformes '' est la réunion des événements disjoints '' exactement 8 pièces sont conformes '', ''exactement 9 pièces sont conformes '' et ''exactement 10 pièces sont conformes '' d’où  p = p(X=8) + p(X=9) + p (X= 10) = (environ)  0,93