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22 octobre 2006 7 22 /10 /octobre /2006 19:52

Exercice (Extrait du TD n°5, Exercice n°5)

Soit z = Exp (2j Pi/7) [Il y avait une coquille dans le texte]. Soit

A = z+ z^2+z^4 et B = z^3+z^5+z^6

Calculer A + B, puis AB. Montrer que A = conjugué de B et Im (A) >=0. En déduire A et B.

Indications de correction :

A+B = (1-z^7)/(1-z) - 1 [Somme des termes d'une suite géométrique]=-1.

AB = (en développant) = 2.

On trouve que A = conjugué de B.

Im(A) = sin(2Pi/7) + sin(4 pi/7) + sin(8 Pi/7) = sin(2 Pi/7) -sin (Pi/7) + sin (4 Pi/7) > 0.

Connaissant A+B et AB et sachant que Im A >0, il vient que :

A= (-1+ j Racine(7))/2 et B = A= (-1- j Racine(7))/2.

Remarque géométrique : pour poisitonner les points d'affixes A et B, il suffit de remarquer que ces points sont sur la droite d'équation x = -1/2 et sur le cercle  de centre 0 et de rayon Racine(2). [Car A. Conjugué de A = |A]^2 = 2].

Bien à vous. NV.

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Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem1
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commentaires

xav 22/10/2006 22:33

Bonjour,
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Bonne continuation

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