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24 septembre 2006 7 24 /09 /septembre /2006 22:28

Enoncé (Exercice 2, TD 2) : Ecrire sous forme de fraction le nombre décimal :

Ecrire sous forme de fraction le nombre décimal :

x = 0, abcde abcde abcde abcde …..

= 0, abcde abcde abcde abcde …..

Application numérique : écrire sous forme de fraction le nombre 0, 351 351 351 351 351 …..

 

[D'après L.P.M. Bourdon, Elémens d'arithmétique, vingt sixième édition, Ed. Bachelier, 1851, pp. 204-205].

Eléments de correction : Bourdon écrit : " Soit 0, abcde abcde abcde abcde ….. la fraction proposée, et désignons par x la valeur inconnue de cette fraction. On a d'abord x = 0, abcde abcde abcde abcde ….. (1).

Multiplions les deux membres de cette égalité par 10^5, ou par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la période [...] il vient

10^5.x, ou 100 000 x = abcde, abcde abcde ...,

ou 100 000 x = abcde + 0,abcde abcde .... (2)

Si maintenant on retranche l'égalité (1) de l'égalité (2), en observant que

100 000 x - x = 99999 x,

on obtiendra 99999 x = abcde;

donc enfin x = abcde/99999. [...]

Ainsi la fraction 0, 351 351 351 ... est, d'après cette règle, équivalente à la fraction 351/999 [soit encore 13/57 après simplification].

Remarque : on peut aussi procéder en faisant apparaître la somme d'une suite géométrique en écrivant :

0, abcde abcde abcde ... = 0,abcde + 0, 00000 abcde + 0, 00000 00000 abcde + etc. = 0, abcde (1 + 10^(-5) + 10 ^(-10) + ...)

= 0,abcde (1/(1-10^(-5))= abcde /99999

Bien à vous, NV, le 23 septembre 2006.

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Published by Norbert Verdier - dans GEII_Sem1
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