Enoncé (Exercice 2, TD 2) : Ecrire sous forme de fraction le nombre décimal :
Ecrire sous forme de fraction le nombre décimal :x = 0, abcde abcde abcde abcde …..
= 0, abcde abcde abcde abcde …..Application numérique : écrire sous forme de fraction le nombre 0, 351 351 351 351 351 …..
[D'après L.P.M. Bourdon, Elémens d'arithmétique, vingt sixième édition, Ed. Bachelier, 1851, pp. 204-205].
Eléments de correction : Bourdon écrit : " Soit 0, abcde abcde abcde abcde ….. la fraction proposée, et désignons par x la valeur inconnue de cette fraction. On a d'abord x = 0, abcde abcde abcde abcde ….. (1).
Multiplions les deux membres de cette égalité par 10^5, ou par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la période [...] il vient
10^5.x, ou 100 000 x = abcde, abcde abcde ...,
ou 100 000 x = abcde + 0,abcde abcde .... (2)
Si maintenant on retranche l'égalité (1) de l'égalité (2), en observant que
100 000 x - x = 99999 x,
on obtiendra 99999 x = abcde;
donc enfin x = abcde/99999. [...]
Ainsi la fraction 0, 351 351 351 ... est, d'après cette règle, équivalente à la fraction 351/999 [soit encore 13/57 après simplification].
Remarque : on peut aussi procéder en faisant apparaître la somme d'une suite géométrique en écrivant :
0, abcde abcde abcde ... = 0,abcde + 0, 00000 abcde + 0, 00000 00000 abcde + etc. = 0, abcde (1 + 10^(-5) + 10 ^(-10) + ...)
= 0,abcde (1/(1-10^(-5))= abcde /99999
Bien à vous, NV, le 23 septembre 2006.
