Th. de superposition, démonstration

Le th dit :
solutions de (E) = solutions de (EO) + une solution particulière où (E) est une équation différentielle de la forme :
ay''+by'+cy = f(x).

Démonstration:
Déjà toute fonction de la forme y = Y + yP (où Y vérifie (E0) et où yP est une solution de (E). Il suffit de vérifier que Y + yP  vérifie (E). Cela provient immédiatement de la linéraité de la dérivation (dérivée d'une somme = somme des dérivées).

Réciproquement, nous allons montrer que toute solution de (E) s'écrit nécessairement sous la forme d'une solution de (E0) + une solution particulière de (E).

Soit deux solutions quelconques de (E) que nous notons y1 et y2. Par définition nous avons :
ay1''+by1'+cy1 = f(x) et ay2''+by2'+cy2 = f(x).

En soustrayant, il vient : ay1''+by1'+cy1 - (ay2''+by2'+cy2 ) = 0. Là encore, linéarité de la dérivée, vient que :

a(y1- y2)''+b(y1-y2)'+c(y1-y2) = 0. Donc y1-y2 vérifie (EO) autrement dit si je note Y = y1-y2, j'en déduis que :
y1 = Y + y2. Nous avons bien ce que nous cherchons à démontrer.

Conclusion : solutions de (E) = solutions de (EO) + une solution particulière.

Bien à vous. NV. Bon week end!