La " question du lundi " n°2, 15 septembre 2008: Les jumeaux du baron Fourier !
Nous connaissons tous les jumeaux de Langevin (CF.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux) connaissez-vous les jumeaux du baron Fourier ?
Soit la transformée de Fourier définie (à la mode des élecroniciens) par :
F(f)(p) = F(p) = Integrate [f(t) Exp(-2jPi pt] entre –Infini et + infini. On en déduit les propriétés élémentaires : linéarité, transformé de la dérivée d’un signal = 2jPi p t transformée du signal et transformée de f(at) = 1/a F(p/a) si a strictement positif et transformée de f(t-a) = Exp(-2j p Pi a) transformée de f (théorème du retard)
Question du lundi matin : Un de mes étudiants (en fait plusieurs) cherchant la transformée du signal (Pi((t-1)/2 où Pi est la fonction porte définie par Pi(t) = 1 si t entre –1/2 et ½ et 0 sinon) m’écrit :
" En revenant à la définition je trouve que ce signal vaut 1 entre 0 et 2 et 0 sinon. En calculant l’intégrale je trouve : Exp(-2j p Pi) Sin(2p Pi)/p Pi.
En utilisant les propriétés. Je sais que Pi a pour transformée Sin (p Pi)/p Pi donc Pi(t-1) a pour transformée Exp (-2 j p Pi) Sin (p Pi)/p Pi. Donc Pi((t-1)/2) a pour transformée 2 Exp (-4 j p Pi) Sin (2p Pi)/2p Pi = Exp (-4 j p Pi) Sin (2p Pi)/p Pi. Où est mon erreur ? "
Question du lundi après midi : Un autre de mes étudiants, dont nous tairons le nom et que nous appellerons le jumeau du précédent, cherchant à calculer la transformée du signal définie par f(t) = t si t est entre –1/2 et ½ et 0 sinon m’écrit :
" Avec la définition, je trouve par calcul : j Cos (p Pi)/2 p Pi – j Sin (p Pi)/2 p^2 Pi^2. En utilisant, la propriété de la dérivée : je remarque que le signal a pour dérivée la fonction porte or la fonction porte a pour transformée : Sin(p Pi)/p Pi d’où, d’après la propriété de dérivation :
transformée de la dérivée = 2 j p Pi F(p) = Sin(p Pi)/p Pi donc F(p) = Sin(p Pi)/ (2 j p^2 Pi^2). Je n’obtiens pas la même chose. "
Saurez-vous aider nos jumeaux du baron Fourier pour leur indiquer là où le bât blesse ? Amicalement. NV
Pour participer à la conversation ! Cf.
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,464311
