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21 mars 2006 2 21 /03 /mars /2006 08:56

Enoncé : Représenter la surface S  d'équation z = Sqrt[2x^2 + y^2]. Calculer le volume déterminé par S quand z varie entre 0 et h.

Eléments de correction:

Si on fixe la hauteur z, on obtient : z^2 = 2 x^2 + y^2 soit

x^2/(z^2/2)+ y^2/z^2 = 1 soit une ellipse avec a=z/Sqrt[2] et b= z.

Quand z = 0, cela se réduit à l'origine du repère. Donc S représente un cône à base elliptique.

Pour calculer le volume on peut se ramener à un cône "classique" circulaire en posant X=x/Sqrt[2]; Y = y et Z = z. D'où un jacobien valant 1/Sqrt[2].

Il en ressort que le volume est égal au volume du cône circulaire/Sqrt[2]. Or le volume du cône circulaire vaut 1/3 Pi h^3 d'où V = Pi h^3/3Sqrt[2].

Autre méthode : (avec Fubini) Si on fixe z entre 0 et h, (x,y) décrive l'ellipse d'équation : x^2/(z^2/2)+ y^2/z^2 = 1 qui a pour aire : Pi z^2/Sqrt[2]

Ensuite : Intégrale[Pi z^2/Sqrt[2], {z,0,h}]= Pi h^3/3 Sqrt[2]. On obtient (et c'est heureux le même résultat!).

Commentaire : aucun étudiant n'est parvenu au bon résultat. Un certain nombre d'étudiant était cependant sur le "bon" chemin.

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Published by Norbert Verdier - dans Poursuite d'études
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