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17 mars 2006 5 17 /03 /mars /2006 21:15

Exercice : Intégrer f(x,y,z) = x^2 - y^2 sur la boule unité (c'est-à-dire le volume contenu dans la sphère de rayon 1)

Eléments de correction :

On passe en coordonnées sphériques. Le jacobien est r^2cosPHI. La fonction devient : r^2(cosTHETA)^2(cosPHI)^2 - r^2 (sinTHETA)^2(cosPHI)^2 = r^2 (cosPHI)^2 cos(2THETA)

Ainsi on doit intégrer : r^4 (cosPHI)^3 cos(2 THETA) sur où (r, THETA, PHI) décrivent le parallélépipède  de côtés [0,1], [0,2PI], [-Pi/2,Pi/2]. On est confronté au cas particulier de Fubini (intégrer une fonction séparable sur un parallélépipède). L'intégrale triple est le produit de 3 intégrales simples :

I1 = Intégrale(r^4,{r,0,1})=1/5.

I2 = Intégrale(cos(2 THETA ),{THETA,0,2PI})=0

donc inutile de calcule I3. On a I = 0.

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Published by Norbert Verdier - dans Poursuite d'études
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commentaires

Norbert Verdier 18/03/2006 10:35

Certains étudiants sont "restés" avec les coordonnées cartésiennes. On pouvait s'en sortir mais aucun étudiant ne s'en est sorti!

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