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14 mars 2006 2 14 /03 /mars /2006 09:10

Exercice : Intégrer f(x,y,z) = x^2 + y^2 sur la boule unité (c'est-à-dire le volume contenu dans la sphère de rayon 1)

Eléments de correction :

On passe en coordonnées sphériques. Le jacobien est r^2cosPHI. La fonction devient : r^2(cosTHETA)^2(cosPHI)^2 + r^2 (sinTHETA)^2(cosPHI)^2 = r^2 (cosPHI)^2.

Ainsi on doit intégrer : r^4 (cosPHI)^3 sur où (r, THETA, PHI) décrivent le parallélépipède  de côtés [0,1], [0,2PI], [-Pi/2,Pi/2]. On est confronté au cas particulier de Fubini (intégrer une fonction séparable sur un parallélépipède). L'intégrale triple est le produit de 3 intégrales simples :

I1 = Intégrale(r^4,{r,0,1})=1/5.

I2 = Intégrale(1,{THETA,0,2PI})=2 Pi.

I3 = Intégrale(cosPHI^3,{Phi,-Pi/2,Pi/2})/

Pour I3, on doit linéariser : d'où :

cosPHI^3 = 1/4 cos(3PHI) + 3/4 cosPHI.

Ainsi I3 = .... = 4/3.

Au final, il vient que : I = 8/15 Pi.  

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Published by Norbert Verdier - dans Poursuite d'études
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