Vendredi 30 septembre 2005
Voici la correction de la partie a) de l'exercice 7 d'après
"soit (6x^4)-5x²+1=0:
->Je pose X=x²
-> on obtient donc un polynôme du second degré: 6X²-5X+1=0
->On calcule alors le discriminant : delta= b²-4ac=(-5)²-4*6*1=25-24=1
->il y a donc deux racines dans R
-> grâce à la formule donnée en cours ,on obtient: X1=1/3 et X2=1/2
->au début nous avons posé X=x² donc on remplace dans les solutions trouvées
précédemment
-> cela nous donne donc:(x1)²=1/3 -> x1=(+/-)racine carrée de 1/3 et (x2)²=1/2
-> x2=(+/-) racine carrée de 1/2
->on a donc au final:S={-racine carrée de 1/2 ; -racine carré de 1/3 ; racine
carrée de 1/3 ; racine carrée de 1/2}
Mr LOUIS-MARIE Yohan-Geii1-Groupe E"
La solution à cet exercice a également été proposée par Bruno Lam & Nicolas Jardel.
Par LOUIS-MARIE Yohan,
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Vendredi 30 septembre 2005
Bonjour,
Je vous envoie comme prévu l'exercice :
13_d) Nous avons un système : 2Vx + 3Vy = 5 (1)
3Vx + 5Vy = 7 (2)
On utilise la méthode de GAUSS, on décide par exemple d'éliminer les
termes en x soit on fait l'opération suivante : 3*(1) - 2*(2)
On obtient donc 6Vx + 9Vy - 6Vx - 10Vy = 15 - 14 <=> -Vy = 1
<=> Vy = -1
IMPOSSIBLE car une racine carrée est toujours positive (Vx >= 0) , donc
le système comportant les deux équations (1) et (2) n'a pas de
solutions, S = ensemble vide .
Cordialement,
Jérémy PAULIN.
Par Jérémy PAULIN
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Vendredi 30 septembre 2005
Soit S = 2^5 + ... + 2^12.
C'est la somme des termes d'une géométrique de premier terme 2^5, de raison 2 et comportant : 8 termes. D'où :
S = u_0 (1-2^8)/(1-2) = u_0 (2^8- 1) = 2^5 (2^8-1) = 2^13 -2^5. On peut finir en calculant effectivement cette valeur.
Par Norbert Verdier
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Vendredi 30 septembre 2005
Soit S = 1+3+...+2n-1
Méthode 1 : On reconnaît la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. En posant : u_n=2n+1, il vient du cours :
S=u_0+u_1+...u_(n-1) = n/2 (u_0+u_(n-1)) = n/2 (1 + 2n -1) = n^2
Méthode 2 : on peut "pressentir" le résultat en faisant des tests numériques. Il suffit ensuite de le démontrer par récurrence sur n.
Méthode 3 :
S = 1 + 3+ ....(2n-1)
S = (2n-1) + (2n-3) + ...+ 3 + 1 (écriture de S "dans l'autre sens").
En sommant, les termes on remarque qu'on obtient toujours 2n, cela se produit n fois d'où :
2 S = 2n^2 ainsi S = n^2
Méthode 4 :
S = 1+2 +3 + ......2n - (2+4+6+....+2n) (on rajoute et on retranche les pairs) d'où
S = 1+2+3+4+....+2n - 2(1+2+3+...+n)
Chacune des deux sommes est une des sommes classiques de la forme :
1+2+3+...+N = N(N+1)/2 d'où
S = 2n(2n+1)/2 - 2 n(n+1)/2 = n^2.
Remarque : pour d'autres exemples de suites arithmétiques et géométriques, cf. mon livre (à la bibliothèque) : "Séries, Transformations, Intégrations", Ed. ESKA, 1997, pages 17-18.
Par Norbert Verdier
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Mercredi 28 septembre 2005
Ci-joint la correction de Julien Labiche :
"Soit ce système:
(1) {x-y+z-u=0
(2) {2x+y-z+2u=0
(3) {2y+3z+u=0
1ere étape: on élimine x
pour cela on prend (1) comme ligne pivot puis on effectue (2)-2*(1)
(1) {x-y+z-u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {2y+3z+u=0
2eme étape: on élimine y dans (3)
pour cela on effectue 3*(3)-2*(2)
(1) {x-y+z+u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {15z-5u=0
on obtient alorz u en fonction de z: u=15/5z
u=3z
on remplace u dans (2) pour trouver y en fonction de z:
(2) : {3y-3z+12z=0 {y=-3z
on remplace u et y dans (1) pour trouver x
(1) : {x-(-3z)+z+3z=0 {x=-7z
donc:
{x=-7z
{y=-3z S={(-7;-3;1;u)} et la droite passant par A(0
{u=3z 0
{z=z 0
0. Julien Labiche"
Commentaire (NV) : la résolution est correcte mais pas la fin. En fait, on a : x=-z, y = -3 z, z = z, u = 3z et z quelconque.
Par analogie avec ce qu'on a fait dans le plan, on peut dire que la solution est une "droite" passant par (0,0,0,0) et de "vecteur directeur" : (-1,-3,1,3). Ici évidemment on ne peut pas représenter géométriquement ce type de situation. La représentation géométrique ne peut se faire que lorsque l'on a 2 ou 3 variables.
Par Julien Labiche
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